函数是数学中最重要的概念之一。
　　当集合是数集时“x的函数”就是x的对应变数。y =f(x)是按照变化（对应）法则 f变化的变数，y与x都代表数，但f就不代表数而表示y与x之间有对应关系，对应法则也由f代表。变化（对应）法则f与按照f取数变化的变数y不能混为一谈。“函数关系”就是变数y =f(x)与变数x之间的互为对应关系：x←→y=f(x)。
　　函数与函数关系是两个根本不同的概念。师生关系中的老师不是一种关系，函数关系中的函数不是一种关系。“变数的变化法则”与“变数”本身有极显著的质的区别。例如函数有变域，而给定的函数关系与函数的变化（对应）法则就不存在变域；函数有极限而函数关系、变化（对应）法则就没有极限。
　　 “数集D的各元x都须与100x对应”这一对应法则不是函数，法则中的变数100x才是函数。x的对应变数y=f(x)是函数，而规定其如何对应变化的对应变化法则f不是函数。一种对应法则（关系）：买卖双方的“n元钱对应y=2n个包子”与法则中的一个变数y=2n是两个根本不同的概念。
　　然而令人震惊的是竟有不少书本出现最不应该出现的概念性错误。例如：“函数是从自变量的输入值产生出输出值的一种法则或过程。”（COMAP著，申大维等译《数学的原理与实践》，高等教育出版社、德国施普林格出版社，1998.8。）《数学分析（上册）》（华东师范大学数学系，高等教育出版社，2001.6，第3版）也将对应法则f误为函数。
　　又例如：“…，f是一个确定的对应关系，…那么这个关系f就叫做从x到R的函数关系，简称为函数，”（姚孟臣《大学文科基础数学(第一册)》31页，北京大学出版社，1990.3。）
　　有数学家说: 搞错概念,脑子会变成一团浆糊。
　　 “函数的近代定义：设A，B都是非空数集，f：A→B是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作 y=f(x)。”显然将对应变数与对应关系、对应法则混为一谈了。这会在初学者中造成极大的思想混乱。
　

什么是映射？“把集合D的元素与E的元素之间的对应关系f 称为一个映射。”（张筑生《数学分析新讲（第一册）》6页，北京大学出版社，1990.1）中学课本中的“设A,B是两个集合，如果按照某个确定的对应法则f，对于集A中的任何一个元素，在集B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做集A到集B的映射。记作：f：A→B。集是数集时此映射就是函数。”显然是错误的定义。一种对应关系（法则），不是取数的函数。
　　 y轴上的一个动点y=f(x)（y表示动点的流动坐标） 按照变化（对应）法则 f变动，但动点的流动坐标y不是不变的变化法则。
　　“函数的三要素：定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f.”“函数”：（y=f(x)的）对应变化法则f的对应变化法则是什么？f的定义域、值域又是什么？函数三要素都不具备的f不是函数！变化法则f不是变数而与常数之间没有距离关系使f根本没有极限。
　　一句话：父母的子女不是其父母，对应变数y(x)的对应变化法则不是y。“父母”反映其有子或女，但子或女不是其父母；y=f(x)反映其有对应变化法则f：x←→y=f(x)，但f≠y。X轴的一个动点x（y）在y轴上的映射（对应）动点是y(x)，两点有互为映射（对应）的关系，但x、y是表示这种关系的两点在轴上位置的变数，而不是映射（对应）关系本身。例如：y=2x表示：
　　 x=1的映射（对应）数2x=2，
　　 x=2的映射（对应）2x=4，
　　 x=3的映射（对应）2x=6，
　　 …….
　　映射（对应）数2x=2、4、…都不是关系与法则，而是映射（对应）关系中的映射数。2x是x的映射（对应）变数。
　　学数学的人都深有体会：这堂课如被灌迷魂汤，下堂课就更要急陷入迷魂阵了。
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