[摘要]使康脱脱离健康误入歧途的重大中学数学错误：将一部分误为全部，导致人类认识与研究正整数五千多年来，先一直不知SH定理“正整数集N内奇、偶数各占一半”，近百年来又举世欢呼“伟大发现”：N内有多少个元n相应就有多少个数２n、多少个２n－１、…且各数都∈N。本文据康脱比较两数集各含数多少的对应原理仅用50个字符就证明了SH定理，推翻百年集论。
[关键词]中学数学重大错误；推翻自然数公理和百年集论；有首、末项的无穷数列；有穷与无穷的对立统一； N内暗含有无穷大自然数n>M
一、会背书得高分者不一定真懂集合论
无穷数集A与B是否分别包含同样多（个）元素？若A的所有相应数y＝f（x）分别与B的所有元x一一对应成双配对“结婚”后，A还多出一数y≠f（x）“单身”而没能与B的元x配对，就表明A比B多含了一个元，若还多出无穷多个数y≠f（x）“单身”就表明A比B多出无穷多个元。总之，若B的所有元x与A的一部分——真子集的各数y一一对应，就表明A至少比B多含一个元而不可～B。康脱就断定无理数比自然数多；…。
两集不对等就更谈不上相等；不对等的原因是一集至少比另一集多或少一个元素。无穷集C～D表示C与D分别包含同样多（个）元素。给C增添一C外元a就得C的真扩集K＝｛a｝∪C比C多了一个C所没有的数a。
不知以上集论最核心的实质内容者还根本不懂集论。
二、推翻百年集论的真扩集定理
真扩集定理：任何可有真扩集的集G与其真扩集KÉG不对等、更不相等，原因是K至少比G多出一个元素,即K的一部分G包含不了K的全部元素。
证：G～G。给G增添一个与G没有共同元的非空集H得G的真扩集K＝H∪G就极显然不～G了：K的一部分G的各数与原G的所有元一一对应成双配对，而另一部分H的各元就都与此配对无关，表明K至少比G多出了一个元素。证毕。
关键是G的各数均有与己相同的对应数∈G，若G内有数再与H的数相对应那就是“一对二”的重复对应了。
三、50字符证明N内奇、偶数各占一半——“一对一”与“一对二”的重大区别使N内整数比偶数多一倍
奇数集A：1，3，5，…，2n-1，... （A的元素可排为一数列）
偶数集B：2，4，6，…，2n，...（ B的各元２n的对应数n的全体组成集合C）
B～C：1，2，3，…，n，…（N=A∪B。真扩集定理断定B不可～它的真扩集N从而推翻百年集论。）
3个数列显示C的各元n都有两对应数2n、2n-1且所有对应数组成的集是N，表明N的元比C的元多一倍——50个字符充分证明了推翻百年集论的：
SH定理：N的元素2倍于C的元素使C～B与B～A一样是N的真子集;因B～A故N内奇、偶数各占一半。
形成鲜明对比的是B的元素与C的元素就一样多。
B～C＝｛1，2，3，…，n，…｝∪｛｝（C由两部分组成，第2部分是空集。）
在N=B∪A＝｛2，4，6，…，2n，…｝∪｛1，3，5，…，2n-1，…｝中，第2部分A有多少（个）元，N就比C～B多多少（个）元——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的表达式。
故N＝C∪（N－C）= C∪F是C的真扩集，F的各元n都是>C的一切n的C外无穷大自然数n。
所以中学数学断定C=N，是将N的一部分误为N从而使康脱误入歧途的重大错误。不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。
四、证明无穷集C有最大元素
数学常识：“集D的任何数x”中的x可取D的任何（所有）数，即D的所有数都由此x代表。反复强调：若代数式y>x中的x代表D的任何正数，则此式所代表的内容之一：有数y>D的任何正数。
“无穷集D=（1，2）的任何元x<1.1x=y”明确表达有D外数y>D的任何（所有）元x（式中x可一个不漏地遍取D的一切数使代表数的y>x必可一个不漏地遍比D的所有x都大）；同样，①“C的任何元n<n+1∈N”一目了然地表达N中有数n+1>C的任何（所有）元n。②“任意一个”是全称量词，对C的任意一个n都有n+1>n就是对C的所有n都有n+1>n（C的所有数都由此n代表）。这不就是说有C外数n+1>C的一切n吗？不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力。
因为①②中的n都∈C，故C外n+1中的n∈C显然就是C的最大数——其后继n+1不∈C。
关键是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解，对式中各字母的含义不能只有一知半解。
无穷集U =[a, b]内也有该集的最小、大数。变域为U的x在由小到大取值的过程中必有最后一次的取值：取至b后就无数可取了，虽然最后一次取值的次数n与1相隔无穷多个自然数，即其取数过程是有完有了、有始有终的。
关键：对人而言U内数多得取之不尽，人不能遍取U内一切数，但变域为U的变量却能取尽U内数，因为变域是变量所有能取的数组成的集。对无穷现象的幼稚认识使人们误以为地球人不能做到的事，“宇宙人”也做不到。
正方形a是由4条直线段连接而成的闭折线围成的，将闭折线在一连接点处“剪断后拉直”就成为直线段了。将a的各条边都变为相应的折线，就成为分形几何中由无穷多直线段连接而成的“柯赫岛闭折线”，它所围成的图形的面积j是1，而周长c却>“任意给定的正数”M，将闭折线在一连接点处剪断拉直，就成为长度是>M的无穷长直线段了。这是有始点与终点的无穷长直线段L（否则L就不能还原为原来的闭折线了）。所有连接点可排为一有始点与终点的无穷点列。显然当a的面积j>>1时相应的周长c′>>c>M。
以上是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。对立统一规律是普遍规律。
不能定量描述无穷集包含多少个元素是数学的重大缺陷。
五、数学中，暗含的用而不知的“骨干”数远远多于已知数
在N内取值的n→∞的含义是：n变至后来所取各自然数n均>“任给定正数”M。这类数n>M显然是“更无理”数。
“本文揭示数学中，用而不知的‘骨干’数远远多于已知数。例如，如无>任何标准正数的非标准数及其倒数就绝无非标准微积分一样，若无>‘任给定正数’M的数x 及其倒数，就绝无无穷大变量x>M及其倒变量，从而更无微积分，因为变量x>M是说x所取各数x均大于M。古人不知无氧气就无人类，今人不知无…就无微积分。…
“说恒取自然数的n可变至总>‘任给定正数’M就是间接肯定有无穷大自然数n>M。用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。没有>M的数何来恒>M的变量（至少可取2个数的量称为变量）及其倒变量？从而又何来微积分?!极限论断定无穷数列1，2，3，…，n，…中有数n>M［１］。”
“林群院士精辟指出：‘数学归根结底也在常识之内。’（数学的实践与认识，1997-2）常识一看就懂。天上的星星数不完、物质的无限可分性、等等，就是宇宙中客观存在的无穷现象。元素多得写不完的集合就是无穷集。稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，n，…，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n。就是有首、末项的无穷数列[2]。” 正如1与2之间的实数多得写不完一样。
六、推翻自然数公理：N的任何元n<2n∈N
自然数公理断定：数学内的所有正自然数组成的N的各元n均有同属N的对应数2n>n（N的所有数都由此n代表）即：N的任何元n<2n∈N。其实这是使康脱误入歧途的重大病句：N内有数２n>N的所有数n。初3问题：
在N内取值的y=2n>n= 1，2，3，…
中的自变量n能遍取N的一切数吗？此式一目了然地表达N内有数y>右边数列的一切数n。所以关系式限制式中数列不可包含N的一切数！即y=2n 的定义域≠N！即并非N的任何数都能由2n∈N 中的n代表。中学数学断定y=2n 的定义域＝N是使康脱误入歧途的重大错误。
对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：20）。
详论见获中国教育学会一等奖的文献［3］。关键是N内有最大自然数n使2n等不∈N！
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
参 考 文 献
[１]黄小宁，在超凡越圣的伟人眼中无穷大n总≈0——符合实际的全新数学必取代几千年井底蛙数学，科技信息[J]，2008（2）:４６.
[2]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话，科技信息[J]，2008（1）：29。
[3]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.
[4]黄小宁，“最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C], 北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
[5]黄小宁，y=1010 x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）：42。
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