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关于N阶等差数列的一条定理 |
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| 关于N阶等差数列的一条定理 |
| 数学教育网 www.shuxue.com.cn 文章来源：本站原创 发表时间：2008-1-16 15:53:30 阅读次数： |
什么是多阶等差数列？
普通等差数列的后项与前一项之差为一常数。我们把任何一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就是二阶等差数列。例如，数列：１、２、４、７、１１、１６、２２、２９．．．它的前后项之差所组成的新数列：１、２、３、４、５、６、７．．．为普通等差数列，所以原数列为二阶等差数列。
由此类推，我们把任何一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。
有些复杂的数列看似等比数列，实为多阶等差数列。举例如下。
数列：１＊２、２＊３、３＊４、４＊５、５＊６、６＊７、７＊８、８＊９、９＊１０．．．
展开为：２、６、１２、２０、３０、４２、５６、７２、９０．．．
前后项差之数列：４、６、８、１０、１２、１４、１６、１８为普通等差数列，所以原数列为二阶等差数列。又如，
数列：１＊３＊５、３＊５＊７、５＊７＊９、７＊９＊１１、９＊１１＊１３、１１＊１３＊１５...
展开为：１５、１０５、３１５、６９３、１２８７、２１４５...
前后项差之数列：９０、２１０、３７８、５９４、８５８...
后续前后项差之数列：１２０、１６８、２１６、２６４...为普通等差数列，所以原数列为三阶等差数列。可以证明
定理：一般地，如果｛Ａ１｝、｛Ａ２｝、｛Ａ３｝...｛Ａn｝分别为a1、a2、a3......an阶等差数列，那么数列｛A1*A2*A3*...An｝即为（a1+a2+a3+......+an）阶等差数列。
推论一（证明从略）：n的N(N为常数）次方组成的数列即为N阶等差数列。
推论二（证明从略）：如果｛Ａ１｝、｛Ａ２｝、｛Ａ３｝...｛Ａn｝均为普通等差数列，那么数列｛A1*A2*A3*...An｝即为n阶等差数列。
我们已经知道，Ａ的n次方组成的数列为等比数列，公比为Ａ。现在又知道，n的Ｎ次方组成的数列为Ｎ阶等差数列。如果我们能推导出Ｎ阶等差数列的一般求和公式，初等代数中的一般级数求和的问题就基本解决了。
如果我们把普通等差数列定义为一阶等差数列，把常数数列定义为零阶等差数列，就可推出
Ｎ阶等差数列的求和公式：Ｎ阶等差数列的和，等于展开后各阶（包括零阶）等差数列的首项乘以n个里面取X＋１个(X为Ｎ减去该数列的阶数)的组合之和。 |
| 文章录入：周照人 责任编辑：123456wuyumei |
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