数学教学中符号感的培养
贵州遵义市第八中学（563002）王湖清
1.问题产生的背景
随着数学的形式化和符号化,导致“高度抽象”成了“数学”的代名词.数学符号的使用贯数学以抽象化,从而也为数学科学的发展提供了有利的条件,使数学研究的对象更加准确、具体、形象、简明,更易于揭示对象的本质,极大地简化和加速了思维过程.数学符号不仅随着数学发展的需要而产生,而且也随着数学的发展不断完善.恰巧越完善就越简洁,越简洁就越抽象.虽然,从小学到中学,学生就开始接触并学习各类数学符号,但能够正确无误地理解符号含义、书写符号、用符号进行表达和交流数学思想的学生却不是很多;从我读大学就听过一个笑话“有人把数学分析中的无穷大符号“∞”认为是把数字“8”写倒了而把它写正”,到我毕业从教这几年来,确实发现有很多学生(包括优秀生)不能很好地正确使用所学过的数学符号.然而,学生需要掌握数学知识,而不得不与数学符号打交道. 换句话说,符号化是每一个学习数学和研究数学的人都要经历的过程. 在课程改革的今天，并没有忽视对学生符号意识的培养.《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》（以下简称《课标》）强调了符号观念与符号意识,指出了“发展学生的数感、符号感、空间观念……”.由此看来,数学符号的教学我们不仅不能轻视,相反应当大力抓.
2.问题的提出
如何发展学生的符号感、培养学生的符号意识呢?针对学生从具体到抽象的认知心理过程,从小学过渡到中学恰遵循了这一规律.从而发展正确而熟练地使用符号和其他抽象名称(可能是几何的、代数的或算法的)的能力成了中学数学课程的中心目的.因此,对发展学生符号意识和培养学生符号感的有关问题作一探讨尤为必要.下面笔者谈谈自己的看法,以供参考.
3.对符号感的认识
符号感主要是靠数学(也靠其它学科)发展起来的,它的意义远远超过会用符号表示数量关系和变化规律.符号感还包括发展对符号的把握和自信,愿意和有能力去解决各种不同情境下的有关符号的问题,它不仅需要了解符号的系统、符号的功能和符号是怎样产生的,还需要掌握符号的读写、理解符号的意义及用多种符号表示同一数学关系或用一种符号表示多种数学关系等.
3.1符号感的含义
符号感是指主动地、有意识地感受和运用数学符号的态度和意识.它包含三方面的含义:①用符号形式表达数学问题并在关系、式子和方程中使用这些符号表达式;②确定适当的符号程序并选择适当的方法解决用符号形式表达的问题（操作）；③用符号系统推理、得出结论并检验所得结果的准确性和合理性(解释).
3.2符号感的内容
符号感在《课标》中主要表现为:能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,并用符号表示;理解符号所代表的数量关系和变化规律;会进行符号间的转换;能选择适当的程序和方法解决用符号所表述的问题.
4.培养学生符号感的教学途径
如果说数学是一种语言的话，则数学符号就是这种语言的“词”.既然是语言,就会有相应的语法,数学的语法就是各种符号演算的法则和规定等.只有学习、熟悉、掌握数学这种语言的语法,才能利用数学这种语言进行推理、计算、交流和解决问题.对于学生来说,数学学习就意味着语法的掌握,而语法的掌握就意味着符号感的培养.符号感是数学学习过程中逐渐培养起来的.数学教学中可通过如下途径来培养.
4.1 教学要充分展示符号产生的过程
根据认知理论，数学教学中充分展示数学符号的产生过程,让学生经历运用数学符号和图形来描述现实世界,使他们体验到数学符号与客观事物间的联系.从而加深他们对数学符号的理解与记忆,建立起初步的符号感.数学符号的产生大致有四类.
4.1.1象形符
象形符实际上是缩小的图形.如:平行符号“∥”是两条平行的直线;符号“⊙”表示圆,中间一点表示圆心.这样的符号有很多.如:垂直符号“⊥”、三角形符号“△”等.
4.1.2会意符
会意符指的是由图形就可以看出某种特殊意义的符号.如:用两条长度相等的线段“＝”并列在一起,表示等号;加一条斜线“≠”表示不等号;用符号“＞”表示大于(左大右小),“＜”表示小于(左小右大)意思不难理解;用括号“（）、［］、｛｝”把若干个量结合在一起,也是不言而喻.
4.1. 3缩写符
缩写符由文字的缩写而得到的符号. 如:“ ”中的“√”是从拉丁字母radix (根值)的第一个字母演变而来;相似符“∽”是把拉丁字母“s”横过来写,而“s”是similar(相似)的第一个字母.
4.1.4规定符
除以上三类符号外,还有大量的符号是人们经过规定沿用下来的.如: =1(a≠0),π表示圆周率等.
4.2加强学生对符号的表述
数学符号表述的学习就像小孩学汉语拼音和英语音标一样重要.只有正确表述符号,才能运用好符号.即是说符号的表述是培养符号感的第一步.因此,在教学中应加强这一环节的工作.笔者认为应从以下几方面入手.
4.2.1加强一些符号的比较表述
对于一些表述起来容易混淆的符号,应放在一起比较表述,让学生弄清它们读法的不同,真正做到读写一致.如:“ ”与“ ”,前者应读着“x与y的平方的和”,而后者则应读着 “x与y的和的平方”; “ ”与“ ”,前者读着“二分之一的平方”, 后者却应读着 “1的平方除以2的商”; “(-a)2”与 “ -a2 ”,前者读着“a的相反数的平方”,后者而读着“a的平方的相反数”.……
4.2.2加强合成符号的表述
合成符号是指由几个简单数学符号组合而成的新符号.例如,符号“≮”、“≤”、“≌”、 “≠”、“±”、…….在进行合成符号的表述时,注意“或”、“且”的用法.通常情况下,代数中用“或”,表示选择关系,二者居其一;几何中用“且”,表示二者必须同时满足,缺一不可.如: “≤”读着 “小于或等于”;“≮”读着“不小于”,实质表示“大于或等于”;而“∥”读着“平行且等于”.
4.2.3加强符号语言与其它数学语言互译与表述
用符号语言更能体现出数学语言的简练、明确等特点，能更好地满足数学思想的需要。牛顿曾说过“解答一个含有数量关系的问题时,只要把题目由日常语言译成代数语言就行了”.看来,数学语言的互译与表述是解决数学问题很重要的一环,它可以提高学生的数学素养,对符号感的培养有很重要的作用.比如,就以符号语言与文字语言的互译来说,在具体进行“翻译”时,要注意以下几点:
(1)弄清句子中某些词语的含义,即弄清和、差、积、商、大、小、多、少、倍、分等词语的含义;分清数量关系和运算顺序;抓住关键字分层次,特别是“的”字结构.例如,“比m与n的差的立方的m倍少n的数”是一个复杂语句,但只要我们弄清句子中某些词语的含义,抓住关键字进行分层,问题就简单了.即“比{[(m与n的差)的平方]的m倍}少n的数→{m[(m-n) 2]}-n”,译成“m(m-n)2-n”.
(2)注意一译多、多译一的表述.如:“a-b=c”可以读着:①a比b大c,②b比a小c,③a减去b等于c,④a与b的差是c.反之亦然,…….
(3)注意表述顺序的多样化.主要包括从左到右、从右到左、从上到下、从下到上、从里到外、从外到里或几种综合等.其实,往往是几种顺序综合表述,也有一个符号有不同的表述顺序.如:│-2│读着“负二的绝对值”(从左到右和从里到外)或“二的相反数的绝对值”(从右到左和从里到外), 读着“二分之一的平方”(从下到上和从里到外)或“一除以二的商的平方”(从上到下和从里到外),…….
4.3加强学生对符号的书写
如果说正确表述符号是培养符号感的第一步,那么正确的书写应是第二步.其实它们是不分先后的,正确的书写对符号感的培养是同样的重要,在教学中我们应当加强.
4.3.1加强基本功的训练
对简单符号、合成符号的书写按规范作严格要求,做到规范书写,不能臆造符号;掌握读写一致,做到每学一种符号就会读会写;知道在不同的情景下使用相应的符号;对形同而义不同的符号应加强归纳和区别;对形式不同但表示意义相同的符号,要注意各种形式的具体用法.
4.3.2加强克服负迁移
负迁移是指过去的知识经验对新的知识的掌握所起的负面引导.在数学学习中,负迁移是具有普遍性的.数学符号的书写也如此.因此,加强克服负迁移的作用,就可以使学生顺利地掌握新符号,提高学习的质量.如:“-2x＝4→x＝-2;2x≤4→x≤2;-2x≤4而不是→x≤-2却是→x≥-2.”又如:“(ab)2＝a2b2而(a＋b)2≠a2＋b2”.…….
4.4加强学生对符号涵义和实质的理解
数学符号是抽象的结晶与基础，如果不了解其含义与功能，它如同“天书”一样令人望而却步，然而只要细加分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。数学符号是一种数学表象,它不表示哪一个特殊的或个别的数学对象,而是理想化的带有普遍性的数学形象.从而表明要正确表述、书写数学符号都必须在理解符号含义、实质的基础上进行. 因而,要培养好符号意识,使学生真正具有符号感,就必须在数学教学中加强学生对符号涵义和实质的理解.笔者认为在教学中应做好以下工作:
4.4.1使学生明白符号表示的含义
符号表示含义的理解包括对一符多义、多符一义、特义符、形同而义不同符等的掌握.例如,“≠”表示不等于,与等于的意思相反,实质包含大于或小于;“－”可表示减号、负号和相反数;直线方程就可以有一般式、点斜式、两点式、截距式和斜截式;常用符号“a2+b2=c2”表示勾股定理,符号“x2+y2=r2”表示特殊圆的方程,符号“x2+y2=z2”表示三元二次不定方程或空间曲面方程.
4.4.2使学生重视符号外形与内隐
帮助学生透过符号的形式结构,了解其本质;向学生揭示符号的隐含条件和隐含意义.如:符号“ ”从外形表示求a的算术平方根,实质隐含着三层意思:①根指数是2,②被开方数a≥0,③ ≥0.
4.4. 3结合实际情景理解符号含义
教师在数学教学的过程中,要多收集素材,尽量给数学符号赋予具体的内容,使学生明白不同的符号在同一情景中的价值和意义或相同的符号在不同的情景中表达的含义,培养他们在具体问题情景中能作出恰当符号选择的能力.比如,二次函数的表达式就有:一般式、交点式和顶点式;一般式容易求函数与y轴的交点,交点式易求函数与x轴的交点,顶点式则易求出极值和对称轴;反之,求函数解析式时也应具体选择相应的设法.
5.结束语
总之,对于学生符号感的培养是一项长期而坚巨的工作.需要教师在教学工作中不断摸索和总结;需要引起教师对学生符号感和符号意识的培养的重视;从点滴做起,从具体工作做起;对学生在符号的表述、符号的书写上作严格要求,做到规范正确;结合实际情况,收集相关素材,重视符号产生背景的介绍,给学生以第一初体验;当然,更应该重视对数学符号涵义和实质的分析,对一些容易混淆的数学符号应指出它们的区别与联系,揭示符号的形义(特别是隐含条件和隐含意义),注意具体情景中数学符号的对应关系. 中学数学教学如若能对数学符号作一番探讨与研究，定能有助于学生抛弃对符号的惧怕心理，并对之以深刻理解及正确运用、判断，更能激发学生的强烈的求知欲望与创造欲望。
参考文献:
1.中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准.北京:北京师范大学出版社,2001,7
2.人民教育出版社中学数学室,江苏省教育委员会教研室.数学课外读物(第一册).贵州:人民教育出版社,2001,5 |
