300年微积分揭示有太小正数x无对应数x·x
黄小宁
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“定义域为D = [0，1]的函数y＝x·x”能否成立？即是否D内各元x均有对应数x·x？这完全是中学数学问题。
一、数学中暗含有用而不知而又起决定性作用的数
如[1]所述，说恒取自然数的n可变至总>“任给定正数”M就是间接肯定有自然数n>M。用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。没有>M的数何来恒>M的变量（至少可取2个数的量称为变量）及其倒变量？从而又何来微积分?!极限论断定无穷数列1，2，3，… ，…中从某项起以后各项n均>M。这类与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的数是无穷大自然数n>一切已知自然数n，其倒数1/n<“任给定正数”ε。
正实变量x→0从某时刻起以后所取各正数x均＜ε。可见，极限论间接断定有正数＜ε及有其倒数，R内暗含有＜ε的正数。不明此理的极限论之父对极限论的认识还很肤浅。这使数学一直存有起关键作用而又用而不知的“特异”数，正如原始人对氧气一直用而不知一样。不懂这类数就不懂微积分的精髓，更使数学无法自圆其说。否定无理数，数学就自相矛盾，否定起关键作用的 <ε的无穷小正数更必使数学自相矛盾，从而必化简为繁、化清为浊，使人不知其所云——这是极限论总难学难教的真正原因。数学否定客观存在的起关键作用的无穷小正数犹如医学否定前所未见的非典病毒，是致命错误。
由上可见，极限论的正无穷小定义暗含此意：有<ε的正数。这类无穷小正数<一切已知正数。没有无穷小正数就没有无穷小变量概念即没有极限论，从而更谈不上有标准分析。
无穷小正数x＜ε的倒数1/x>“任给定正数”1/ε=M。这类无穷大正数>一切已知正数，正如非标准微积分中有>任何标准正数的非标准数一样。无穷小正数x＝（１/x）x·x中的１/x是无穷大正数，所以x无穷大倍于高级无穷小正数x·x，设x>>>x·x > 0表示x无穷大倍于x·x。可见ε>x>>>x·x > 0中的正无穷小x＜ε所取各数x相比下均为>>0的极大正数。
二、不明以上真相就不知300年微积分揭示有太小正数x无对应数x·x
在地上及飞机上看地球面是平面，说明曲面的充分小部分≈平面块。不识此事实就不能真正弄懂曲面积分论。300年微积分断定曲面Z=f（P）= f (x ,y)（｜x｜>0、｜y｜>0的变域均为正数集H，点P（x,y）的变域是相应的xy平面）=y+1000…0 x·x （亿亿倍于x·x）（其麦克劳林级数即为函数本身）≈切平面df（0，0）= 0x+y = g（x,y），在（0，0）的某一充分小的去心邻域T内。也就是说对T内任何点（x，y）必有f (x ,y) ≈ g(x ,y)，即当点P（x,y）到点（0，0）的距离ρ>０充分小——小至使P∈T时必有Z=f(x ,y) ≈g（x,y），且ρ越小，近似的程度就越高。这里的关键是当不同时为0的｜x｜、｜y｜都充分小时才能有ρ充分小。
显然若点P（x,y）的x与y均可取H的一切正数，则其必可进入T内。沿曲线y＝x·x（>0）→（0，0）的点P（x,y）能进入T内吗？微积分有史200年后才有的百年极限论断定其必能进入T内。
然而点P（x,y＝x·x>0）分别所对应的f (x ,y) = y+1000…0 x·x＝x·x+1000…0x·x≈1000…0x·x与g（x,y）= 0x+y = x·x大小极悬殊远无近似相等的关系。可见300年“△f≈df ”断定点P（x,y＝x·x>0）远不可进入T内！即断定在T内没有抛物线点（x,y＝x·x），关系式y＝x·x不能成立！现有数学无法解释这一尖锐的矛盾。T内各点（x，y）的｜x｜与｜y｜显然都只能是无穷小正数。
如[3]-[6]所述，这是因为当|x|>0充分大时才能有对应数x·x∈H，当|x|充分小时就不能有对应数x·x∈H了！
微积分无法解释x + x·x≈x<0.001且>0中“可取（0，0.001）内一切数”的一次项x→0与x·x相比，为何不但总不能小至可视其为0而忽略的程度，反而还越变越大无穷变大？从而对近似计算只知结论不懂原理。拨乱反正后的数学才能用数来定量表达此无穷小相比下无穷变大的变化规律，从而真正弄懂近似常识。自相矛盾的理论是有头脑的人无法接受的理论，从而极难学难教。
如[4]所述，常识：在H内凡可无穷大倍于（同∈H的）别的正数的正数x>>>y=x·x>０相比下均为H内的极大正数。所以H内必有太小的无穷小正数x小至无对应数x·x∈H。同理，必有太小正数x小至无对应数x·x。“物极必反，量变引起质变。”超过一定限度的太小无穷小正数x小至不能无穷大倍于任何别的正数，即小至不能还有远比其更小得多的高级无穷小正数了。不识或否定这类客观存在的“特异”数，微积分就无法自圆其说。R内各正数均可无穷大倍于别的正数，能说其包含一切正数？
ε>x>>>y=x·x>０中在H内取数的x被限制所取各数x均须无穷大倍于别的正数x·x∈H。这就使点P（x,y＝x·x>0）远不可进入T内了！因为这不能满足“｜x｜、｜y｜都充分小”这一使点（x，y）进入T内的“苛刻”条件。
参考文献
[1]黄小宁 极限论总难学难教的真正原因：否定有正数<ε，见：中国高等教育研究论丛·数学·计算机卷，北京：中国社会出版社，2004.6：16。
[2]黄小宁 △f≈df疑难，潜科学，1990-4：46。
[3]黄小宁 曲面函数△f≈平面函数df的“反例”，潜科学，1993-1：45。
[4]黄小宁 [0，1]内的每一数x均有数xn≥2与之相对应吗？——人类对无穷的幼稚认识使康托误入歧途，见：教育与教学研究探微（二）[C]，北京：中国广播电视出版社，2000.7：255。
[5]黄小宁 再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814。
[6]黄小宁 极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
电子信箱:hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母） 电联:020-88506843(下午) 初稿完成于2007-6-26。
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