学习材料 · 教学设计 · 有效互动

上海闸北区临汾路小学    王霞芸

摘要：目前，课堂教学中普遍存在着盲目地追求教学组织形式的新颖，远离了教学目标的落实。为了要落实新课标的要求，许多教师应充分挖掘教材中丰富的内涵。那么，从哪些方面去挖掘呢？此篇文章着重从学习材料中进行剖析。对于“有正反两种情况的学习材料”，教师应准备两套方案。当一套方案出现相反情况时，教师则就地取材，当没有出现相反情况时，教师则进行设疑，创设问题情境。对于“只有一种固定转化方式的学习材料”，教师应尽可能采用小组合作学习。学生从不同观点和方法中去粗取精，最终找出正确的方法。对于“来源于生活的学习材料”，教师要尽可能多地创设生活情境，让学生体验知识发生发展的过程。对于“练习题型的学习材料”，教师应尽量择取那些蕴涵丰富教育信息、折射多重教育功能的学习材料来充实教学流程。

关键词：正反两种情况，设疑，固定转化方式，小组合作交流，生活情景，体验。

一、问题的提出

《数学课程标准》将义务教育阶段的数学学习定位于促进学生的整体发展。就是培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”，学会“数学地思考”，即运用数学的知识、方法去分析事物、思考问题。

为了迎合课程改革的精神，有些教师盲目地追求教学组织形式的新颖，远离了教学目标的落实。有些教师在创设情景中陷入了“形而上学”的泥潭，一味地为了寻找数学知识的生活原型而绞尽脑汁，出现了一些情境设计牵强附会甚至影响学生对数学知识的学习。有些教师一味地追求发展学生的求异思维，用多种方法解题，热衷于“算法多样化”，“你喜欢用什么方法计算就用什么方法计算”一度成为数学课堂中的一句时髦话语，忘记了在求异的同时让学生感悟到“求同”。有些教师一味地提倡让学生小组合作，认为课堂上有了小组合作就有了课改意识，就是一种开放的充满活力的课堂，于是不管是难问题还是简单的问题，都给学生提供交流的机会，合作学习到了“随手粘来，动辄合作”的地步。还有些教师设计的操作具有局限性，使得师生之间的互动受到限止，只在教师设计好的几种方案中交流，看似顺畅，可学生对新知比较生疏，更不会运用。

在这些课堂上，学生忙忙碌碌，或动手操作，或合作交流，或画或跳，甚是热闹，甚至连做一道题目，也要活动一番（这种情形尤见于低年级的课堂）。而惟独缺少“独立思考”与“静心思考”的时间和机会。

如有一篇《乘法分配律》的教学案例，

案例一：

1．歌谣引路。^[1]

（播放录音）“同学们好，我叫小芳。我家有三口人，爸爸、妈妈和我。每天早晨，喊我起床的是妈妈，给我买早点、冲牛奶的也是妈妈。送我上学的是爸爸，辅导我、督促我做作业的也是爸爸。我爱爸爸，我爱妈妈，我爱爸爸和妈妈。”（为加深印象，教师要求学生将最后一句齐读两遍）

2．认识规律。

出示：  6×18+6×7○6×(18+7)，  20×15+20×9○20×（15+9）

师：先计算左右两边的算式，再比较它们的大小，你发现什么？

生：左右两边相等。

师：联系上面的故事，你有什么发现吗？

生：我发现这两个等式就是小芳唱的那首歌：“我爱爸爸，我爱妈妈，我爱爸爸和妈妈。”

师：真的吗？你能给大家介绍一下吗？

生：第1题中，6是我，18是爸爸，7是妈妈，爱就是乘。6乘18就是我爱爸爸，6乘7就是我爱妈妈，6乘18加7的和就是我爱爸爸和妈妈。

师：说得太精彩了！

教学例题：  （18+7）×6○18×6+7×6 ，20×（15+9）○20×15+20×9

师：这两个等式是否也能用小芳唱的那首歌表示呢？

生：只有第二题能用，只不过变成了“我爱爸爸和妈妈，我爱爸爸，我爱妈妈。”

生：第1题也能用，“爸爸和妈妈爱我，爸爸爱我，妈妈爱我。”

师：好极了！

3．巩固规律。

师：下面我们来做一个“找爸爸，找妈妈，找自己”的练习。（先独立思考，后小组交流）

（43+25）×2=（ ），8×（7+6），8×47+8×53=（ ），3×6+6×7=（ ）。

师：找准了“爸爸，妈妈和自己”，你能写出等号后面是什么吗？

4．全课总结。

师：那什么是“乘法分配律”呢？

生₁：乘法分配律就是“我爱爸爸和妈妈，等于我爱爸爸，我又爱妈妈”。

生₂：也可以说成“爸爸和妈妈都爱我，等于爸爸爱我加上妈妈也爱我。

从上面的描述中不难看出：这堂“生活味”极浓的数学课，如果去掉“爸爸、妈妈和我”这个生活的例子，学生对于乘法分配律的“理解”还剩什么？在这堂课上，“数学知识”成了生活例子的附庸，离开了歌谣的注解，学生无从表达乘法分配律的含义，数学能力的培养成了一句空话。

《课标》所倡导的许多新理念、新方法在实践过程中有被片面化、放大化，甚至绝对化的倾向。如果离开了教学目标的落实，教学组织形式的创新又有何意义呢？如果离开知识技能目标的扎实到位，过程与方法渗透，情感、态度与价值观的培养只能是镜中月、水中花。因此，当我们创新教学组织形式时，务必要关注教学的实效性。

目前，课堂教学中普遍存在的问题是，主要表现为“牵制式”教学模式制约着学生学习的自主性，教材的滞后性和教学思路的单一性制约了教师教学的自如发挥。如何能够顺着学生的学习思路进行引导恐怕很少考虑，而更多考虑的是如何让学生按教师所设定的框架一个一个地让学生往里钻，实现其环环相扣的教学程序。个别教师囿于教材，驾驭教材的能力不强，致使课堂教学“照本宣科”。

二、解决的方案

新的数学课程将不再首先强调是否向学生提供了系统的数学知识，而是更加关注是否向学生提供了具有现实背景的数学，包括他们生活中的数学，他们感兴趣的数学和有利于他们学习与成长的数学。而学生数学学习的重要结果也不再只是会解多少“规范”的数学题，而是能否从现实背景中“看到”数学，能否应用数学去思考和解决问题。

于是,许多教师提出要让数学教学与生活联系起来,实施开放性教学。要求教师读懂教材，充分挖掘教材中丰富的内涵。那么，怎样挖掘呢？从哪些方面去挖掘呢？不妨从学习材料中进行剖析。“材料引起学习，材料引起活动”。学习材料是学生解决数学问题、获得数学知识、提高数学能力的基本载体，是学生感受数学与生活的联系、体验数学价值的重要资源。教学中，组织不同的材料或对相同材料的不同组织，学生经历学习的过程就截然不同，学习材料的选择与使用往往会影响学生对数学知识的理解和数学能力的形成。如何选择有利于学生思维投入的学习材料？教材中的学习材料如何使用？如何充分挖掘学习材料的价值？

选择学习材料先要从分析教材中的学习材料开始，有些学习材料有正反两种可能性，有些学习材料只能通过一种固定的转化方式得到的，有些学习材料来源于生活。有时候，根据实际情况灵活地调整学习材料，教材中的学习材料是否可以调整，关键是怎样的材料需要调整以及怎样调整，处理学习材料后，有利于学生开展操作活动以及理解知识，更有利于联系学生已有的知识和经验，提高学生探索发现的兴趣。这就要教师提高课堂的效率。一个高效而灵动的课堂，必然是预设与生成的完美统一，预设中孕育着生成，生成丰富着预设。教师把握预设与生成的艺术，通过“预设”去促进“生成”，通过“生成”完成“预设”的目标。在“预设”中体现教师的匠心，在“生成”中展现师生智慧互动的火花。

教师要准确地进行预设，必然先把握教材的本质。教师应本着“源于教材高于教材”的理念，在理解教材时要主动驾驭教材，充分发挥主动性和创造性，合理、灵活地处理教材中的学习材料，选择合适的教学方式进行教学，促进学生更好地投入数学学习。

（一）、有正反两种情况的学习材料━━设疑。

有正反两种情况的学习材料，往往是通过一种情况的呈现，经过验证后否定，然后突出、强调另一种情况的存在。象这种学习材料，教师备课时就要准备两套方案：一套方案是如果出现这种情况怎么办；另一套方案是如果没有出现这种情况又怎么处理。

案例二：理解“同样的”含义。^[2]

师：在生活中经常要碰到买东西的事。例如：小明去超市买可乐，3瓶可乐付了6元，小丽买5瓶可乐要付多少元？

生：10元。

师：你怎么知道，能不能用一个算式来告诉大家？

生：6 ÷ 3 = 2（元），2 × 5 = 10（元）     （板书算式）

师：对于这个答案，你们有没有不同的看法？

　生：瓶有大小，价格也不同，小丽买的可能和    如果学生没有疑问，教师直接演示多媒体。

小明不一样。

师：（多媒体演示）小明买的是小瓶的，小丽买的是大瓶的，答案还会是10元吗？（生茫然）如果要使这个答案正确，题目应该怎么改？

生：应该改成，买5瓶同样的可乐。  （媒体显示“同样的”这三个字，并闪烁。）

师：“同样的”是什么意思？

生：加了“同样的”就说明每瓶大小一样，价格相同。

师：如果买7瓶这样的可乐要多少元？买10瓶20瓶呢？

生齐说：14元，20元，40元。

师：小朋友思考一下，刚才口答的，什么变了，什么没有变？

生：每瓶的元数没有变，买的瓶数变了，付的钱变了。

师：对啊，在每瓶价格不变的情况下，买得越多，付的钱就越多。

由于买可乐有两种情况，可能买的是一样大小的可乐，也可能是大小不一样的可乐，不管哪种情况的出现，都是学生感知后产生的。教师在备课中备有两套方案如果学生对于算式“6 ÷ 3 = 2（元），2 × 5 = 10（元）”没有疑问，教师就直接出示小明买的是小瓶的，小丽买的是大瓶的。如果有学生说小明、小丽买的可乐瓶有大小，则直接引出“同样的”概念。

案例三：三角形边的关系。^[3]

教师请每一位学生取出一根细吸管

问：你们能将这根细吸管剪成三段围成一个三角形吗？

能！学生豪气十足。于是，学生纷纷行动起来。

　　过了一会儿，有的如愿以偿围成三角形，       过了一会儿，全班都围成三角形。     

　　有的则抓耳挠腮。                     　　师：是不是只要剪成三段就能围成三角形 吗？

　　师：看来不是随随便便剪成三段就可以围成三      教师演示剪成三段，不能围成三角形。

　角形的，这里面肯定隐藏着什么秘密？我们一      出示：                 

　　起把它找出来好吗？                                                        

　　师：如果同学们不介意的话，能不能把没有围                         

　　成的“作品”贡献出来供我们研究？                                         

选一份出示：                                                 

师：这三根小棒肯定搭不成吗？

生：那两根小棒斜一点，或许可以搭在一起，三角形可能就围得成。

根据学生的“指示”，教师一一演示。

生：我知道为什么围不成三角形了。因为两根小棒合起来都没有第三根长。

师：是啊，由此你们可以得出什么结论？

生：当两根小棒的长度和小于第三根小棒时，不能围成三角形。

师：那两根小棒的长度和多长时，就能围成呢？

生：两根小棒的长度和与第三根小棒一样长，能围成三角形。

生：两根小棒的长度和比第三根小棒长，能围成三角形。

师：大家猜得对不对呢？我们再来做一次实验。

      每人拿出一根细吸管，合作完成以上两个实验。

生小结：只有当两根小棒的长度和比第三根小棒长时，才能围成三角形。

师：是不是对于每个三角形来说，都意味着它的两边之和大于第三边呢？我们是不是通过量一量前面做的一些三角形，验证一下刚才的发现。

      学生动手量量比比验证。

由于学生任意剪小棒，这就势必会出现许多不确定因素，有的学生剪后可能围成三角形，也可能围不成；也有可能全体学生操作后都能围成三角形。不管是哪一种情况的出现，都是学生操作后自然生成。不确定因素的出现，使得预设的处理方式更灵活。教师在备课中必须备有两套方案：如果有学生剪后没有围成，则就地取材，将学生没有围成的拿来分析；如果全班无一围不成，学生则容易造成一个错觉，那就是“任意三段都可围成三角形”。于是教师即可追问：是不是只要剪成三段就一定能围成三角形呢？接着，教师亲自“操刀”剪三段（不能围成三角形），以此促使学生思考，引发学生探究。

这里，没有作可意地安排，也没有巧设“陷阱”，没有因为操作结果的局限性使得师生之间的互动受到局限。学生由价钱的不一样引起“是否同样的可乐”，由没有围成三角形而产生“为什么围不成”的疑问，引起探究的需要，一波三折，层层推进，学生在探究中经过深层次的思考，不断地修正自己的观点与想法，一步步逼近正确的结论，体验自然深入。教学过程的推进是随着课堂上师生之间的交流与对话、学生思维发展的轨迹而进行的，因教师的有效设疑而形成的教学过程中的生生、师生之间的有效互动，直接影响学生思维的发展。

对于“有正反两种情况的学习材料”的教学，建议教师备课时应尽可能准备两套方案。当一套方案出现相反情况时，教师则就地取材，当没有出现相反情况时，教师则进行设疑，创设问题情境。创设有效的问题情境，不仅能引起学生内部认知矛盾的冲突，使学生在疑中生奇，疑中生趣，并且能促进学生在有效的教学互动中发现新知、提升思维。

因此，教师还要有意识地挖掘小学数学教材中蕴含着的丰富的互逆因素，精心设计互逆式问题，打破学生思维中的定势，逐步增加逆向思维的意识。启发引导学生从知识的正用转向知识的逆用，教会学生从正反面去考虑问题，培养学生思维的灵活性和变通性。为打破学生禁锢于正向思维的定势，培养起双向思维转换能力。

（二）、只有一种固定转化方式的学习材料━━小组合作交流。

只有一种固定转化方式的学习材料，往往改变了原来由教师逐一呈现学习材料的方式，改为学生参与学习材料的构建，由学生构建算式来验证猜想、探究数学的规律。体验了“发现问题----提出假设----举例验证----归纳规律”的探究知识的基本方法。

案例四：异分母分数加、减法。^[4]

一辆汽车从甲地到乙地用了 小时，再从乙地到丙地又用了 小时。问这辆汽车从甲地到丙地共用了多少小时？

列式：  +

师：你们能猜一猜“ +　”的结果大约是多少？

生： 小时。（分母、分子分别相加）

师：  与 比较谁大呢？

生：当然  >  .

师：  小时就是  小时，那为什么  小时再加上  小时反而比  小时要小呢？

生₁：这种方法肯定不对。

生₂：我认为比  小时要少一点，因为  比  要小一些，而  +  =  ，所以  +  <  。

师：那到底是多少，又怎样计算呢？

      学生独立探究.

生₁：  +  =0.25+0.2=0.45

生₂：因为  小时=15分,  小时=12分,15分+12分=27分,27分=  小时,所以  +  =  

师：第1种是把分数转化为小数得到0.45,这0.45重新化为分数应是多少?

生：是  

师：这说明这两种方法计算结果是一样的,那么从结果  的分子、分母与  和  的分子、分母进行观察，他们又有什么关系呢？

    学生再一次探究。

生：  +  =  +  =

刚才大家用三种方法做了一道异分母分数加法，下面请大家试一试计算：  -

生：  -  =  -  =

生：我是用画图的方法，直接看出结果是  。

    出示：                                    =  ,   =         

                                                                                                           从图上可以看出    -  =

师：这道算式你们为什么不把它转化为小数进行计算呢？

生：因为  不能化成有限小数。

师：请同学们总结一下，异分母分数加、减法一般的方法应怎样计算。

生：一般先通分，再按同分母进行计算。

师：为什么要先通分？

生：通分是把异分母分数转化为相同分数单位的分数再相加、减。

这种方法在学生列出加法算式后，先要求学生对算式结果作出猜想，使学生感悟到结果的大致范围，同时也激发了学生探究的积极性。在探究中，学生想到了把分数转化为小数进行计算，利用时间单位间的进率把小时化为分进行计算。这些都是学生自己借助已有的知识技能，对新知识作出了创新性的探索。接着提供的减法算式，特意设计了一个分数不能化成有限小数的，但这两个分数又便于学生用画图来分析。这种探究算法多样化的过程，学生是在充分挖掘自身潜能的前提下，有了探究的体验，真正在实现算法多样化的过程中，感悟了不同方法的局限性，从而提高了解决问题的能力。

案例五：除数是小数的除法。^[5]

师：把一块6米长的布剪成1.2米长的一段，可以剪多少段？有几种方法可以解决这个问题？

学生独立解决问题，教师巡视，并把学生解答情况一一呈现在黑板上。

生₁：这个问题用除法，6÷1.2，做除法想乘法，1.2×5=6.0，所以可以剪成5段。

生₂：6m=60dm，1.2m=12dm，60÷12=5。

生₃：6×10÷(1.2×10) ÷20=0.25。

生₄：6×10÷(1.2×10) ÷100=0.05。

生₅：6÷1.2=6×10÷(1.2×10)=60÷12=5。

生₆：6÷1.2=(6×5) ÷(1.2×5)=30÷6=5。

生₇：竖式计算（计算结果正确）。

生₈：竖式计算（计算结果不正确，结果是0.5）。

生₉：作图法。

师：讨论一下，上面的计算哪些对？哪些不对？为什么？哪一种方法比较好？

     学生以小组为单位进行讨论。然后，全班学生围绕问题进行交流。

生₁：6×10÷(1.2×10) ÷100=0.05不对，被除数、除数同时扩大10倍，商不变。再除以100是多余的。

生₂：答案是0.05，这是不可能的，因为剪成整段数，不可能剪成0.05段。竖式结果0.5也是不对的。

生₃：同时，6×10÷(1.2×10) ÷20=0.25也是错误的。

生₄：我是用商不变的性质做的，6÷1.2=6×10÷(1.2×10)=60÷12=5。

师：利用商不变的性质，扩大10倍就是把小数1.2转化成整数了，这样就把问题转化成以前学过的知识。转化是个好办法！

生：我也是用商不变的性质做的，6÷1.2=（6×5) ÷(1.2×5)=30÷6=5。

师（生）：为什么扩大5倍、10倍，而不是2倍、3倍呢？

生：如果扩大2倍，6÷1.2=(6×2) ÷(1.2×2)=12÷2.4，除数还是小数，扩大5倍、10倍就可以把除数部分的小数转化成整数。

师：进一步比较一下，6÷1.2=(6×5) ÷(1.2×5)=30÷6=5，扩大5倍将小数转化成整数，如果6÷1.3=(6×5) ÷(1.3×5)可以吗？什么情况下扩大5倍？什么情况下扩大10倍？

师：为什么不扩大100倍、1000倍呢？

生₁：没有必要扩大100倍、1000倍，600÷120，6000÷1200，末尾有0还是要去掉，太麻烦了。

生₂：我是作图的，6米太长，黑板上画不下，我就把6米缩小到60厘米，1.2米也缩小到12厘米，60厘米中有5个12厘米，画5段。

生：作图太麻烦了。

师：想一想，在作图的过程中，为什么可以把6米和1.2米分别缩小到60厘米和12厘米？

生₁：实际上就是利用商不变的性质。

生₂：我是用竖式计算的，把1.2米的小数点去掉，在被除数末尾后面添一个0，就变成60÷12=5。

师：为什么可以把1.2米的小数点去掉，在被除数末尾后面添一个0？

生：把被除数、除数同时扩大10倍放在脑中，不在算式中出现。

师：我们比较一下，把小数转化成整数的方法、作图方法、竖式方法，表面看形式不同，但实质是一样的，其实他们都是利用商不变的性质进行计算的。

    “教师通过学生独立尝试的方式，使学生解决问题中的不同状况得以呈现，包括计算中的错误也暴露了出来，这样就找到了教学的起点。作为教学的资源加以利用，教师不急于解决这些计算中的错误，而是通过小组的讨论与交流，在教师的追问、启发、点拨、提炼等有效的回应下，通过生生、师生的思维碰撞，帮助个别学生解决思维过程中的障碍，使不同的学生在原有的基础上都有一定的提高。” （[5]，P175）

对于“只有一种固定转化方式的学习材料”的教学，教师应尽可能采用小组合作学习。学生可以根据自己的生活经验以及一时的思维闪烁而产生的解决方法，作为在群体学生中共享的资源而充分利用。在小组合作交流的过程中，学生从那些与自己不同观点和方法中对自己作出的假设、猜想去粗取精，质疑问难，一步步把学生交流的思维清晰化、正确化，把握本质，没有经过反复思考、反复研究，学生是不可能只指向问题的核心。

学生在合作交流中涌现的思维碰撞往往是一种尊贵的“思维”资源，是具体发展学生数学思维可遇不可求的机遇。开展小组合作学习，有利于我们教师及时地捕捉学生思维的火花，顺着学生的思路展开教学，从容地处理，课堂中的“碰撞”往往会转变成充分展示学生思考、探索、交流过程的精彩一幕，才会有精彩的互动生成。而不只是简单的学习模仿某一项外显的教学技巧、教学方法而已。因此，教师不仅要重视“知识”资源，更要开发“思维”资源。

对于“只有一种固定转化方式的学习材料”采用小组合作学习的教学方法，容易实现双重资源的充分利用而形成生生、师生之间的有效互动，容易实现教师的有效回应而形成教学过程的动态生成。“所有这些带来的效果就是学生思维的灵活和思维水平的提升。这正是“新基础教育”一直以来所期望和追求的。”（[5]，P175）

（三）    用生活情景进行迁移的学习材料━━体验。

有些学习材料来源于生活，贴近生活，而学生又“心求通而不达，口欲言而不能”，创设生活情境，能引导学生“入其境，会其意”。

案例六：统计图。

师：5.1节快来了，我们班准备开一个联欢会，联欢会上老师要为每个小朋友准备一个你喜欢的水果。商店里水果可真多，有葡萄、香蕉、草莓、橘子、菠萝、苹果等。可老师不知道你们每个人喜欢什么水果，请你从图片中选一个水果贴在黑板上好吗？请第一组小朋友上来贴，第二组小朋友上来贴，第三组小朋友上来贴，第四组小朋友上来贴。

问：那么多的水果混在一起，可老师不知道每种水果应该准备几个。看来我们得想个好办法。你有什么好办法？

可以用数数的方法，打“P ”的方法，划去的方法，圈一圈的方法，画“正”字的方法。

问：除了这些方法，还有什么好方法呢？

生：可以把同一种水果放在一起。

学生拿出水果图片摆放。

（取学生的作品）贴于黑板上：作品一             作品二                 作品三