三角形三个内角的和等于180°．

　　证明 如图1，过A作l∥BC．

　　则∠1＝∠B，∠2＝∠ C．

　　(两直线平行，内错角相等)

　　∠1＋∠A＋∠2＝180°(平角定义)

　　∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)

　　推论 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的任意一个外角大于和它不相邻的任一个内角．

　　例1 三角形中直角或钝角的个数不能多于1个．

　　证明 (反证法)假设三角形中直角或钝角的个数多于一个，则至少为两个．于是这两个角的和不小于180°．再加上第三个内角后，就得出三角形内角之和大于180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．

　　例2 一个三角形中最大角必不小于60°，最小角必不大于60°．

　　证明 设△ABC的三个内角中，∠ A是最小角，∠C为最大角．即∠A≤

　　∠B≤∠C．

　　则∠A＋∠B＋∠C≤3∠C

　　即3∠C ≥180°∴∠C≤60°

　　同理 由3∠A≤∠A＋∠B＋∠C可得

　　3∠A≤180°

　　∴ ∠A≤60°

　　例3 在锐角三角形中，三个内角的度数都是质数．试求这个三角形的三个内角．

　　解 由于△ABC是锐角三角形，可设

　　∠A≤∠B≤∠C＜90°．

　　∠A、∠B、∠C都是质数，且∠A＋∠B＋∠C＝180°是个偶数，

　　∴ ∠A，∠B，∠C的度数中至少有一个是偶数，但偶质数只有2，故∠A＝2°，这时

　　∠B＋∠C＝178° ∠ B ≤∠C ≤∠89°

　　可知∠B＝∠C＝89°，而89恰为一个质数．

　　所以这个锐角三角形的三个内角为2°，89°，89°．

　　例4 证明，如果一个三角形的每个内角都大于59°，则它们必都小于62°．

　　证明 设∠A，∠B，∠ C表示三角形ABC的三个内角．

　　∵∠A＞59°，∠B＞59°，∠C＞59°

　　∴ ∠A＝180°-(∠ B＋∠C)＜180°-(59°＋59°)=62°

　　同理可证∠B＜62°，∠C＜62°．

　　例5 如图2，在△ABC内，∠A＝42°，∠B和∠C的三等分线分别交于D、E，试求∠BDC的度数．

　　解 因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°

　　又∠A＝42°，

　　 　　　　　＝180°-92°＝88°

　　答：∠BDC=88°，

　　思考，请读者计算∠BEC的度数(答134°)

　　例6 △ABC中，三个内角的度数均为整数．且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A．求∠B的度数．

　　

　　 ∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°

　　70°＜∠C＜84°

　　 ∴ ∠A＝44°，∠B＝59°．

　　例1 请你任画一个等腰三角形，如果有一个内角是直角或钝角，那么这个角一定是这个等腰三角形的顶角．请你说明理由．

　　证明 由于等腰三角形的两个底角相等，如果一个底角≥90°，则两个底角和将不小于180°，加上顶角，得出这个三角形内角和大于180°，与“三角形内角和等于180°”矛盾．所以底角不能≥90°，因此在等腰三角形中，若有内角为直角或钝角，这个内角一定是该等腰三角形的顶角．

　　例2 如图3，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，E为AC上一点，AD＝AE若∠BAD=20°．求∠CDE的度数．

　　解:设∠DAC=α，则

　　∠BAC＝α＋20°

　　 由于∠AED=∠C＋∠CDE

　　∴ ∠CDE ＝∠AED-∠C

　　　　　　　=(90°-α/2)-(80°-α/2)

　　　　　　　=10°.

　　答：∠CDE等于10°．

　　例3 如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，AD＝AC，BE=BC，求∠DCE的度数，

　　解 设∠CDE＝α，∠CED＝β．

　　∴∠A=180°-2α，∠B＝180°-2β

　　所以，(180°-2α)＋(180°-2β)＝90°

　　即 α＋β＝135°．

　　∠DCE＝180°-(α＋β)＝180°-135°＝45°．

　　答：∠DCE＝45°．

　　例4 如图5，AB＝BC＝CD，AD=AE，DE＝BE，求∠C的度数．

　　解设∠C＝α，

　　∵ BC＝CD

　　由三角形内角和为180°，得

　　解得， α＝36°，即∠C＝36°．

　　例5 如图 6，△ABC中， AB＝BC，M，N为BC边上的两点，并且∠BAM＝∠CAN，MN=AN．

　　求∠MAC的度数．

　　解 设∠BAM＝∠CAN＝α

　　∵MN＝AN

　　∴设∠AMN＝∠MAN=β

　　再记∠ABC＝γ

　　在 △ABC中，∠ABC＋∠BCA＋∠CAB=180°

　　由于∠BCA＝∠CAB＝2α＋β(AB＝BC)

　　所以 4α＋2β＋γ＝180°

　　在△ABM中， β＝α＋γ，代入得 4α＋2β＋(β-α)＝180°．即3(α＋β)＝180°

　　α＋β=60°

　　即∠MAC＝60°．

　　例6 如图7，是一个五角星形．

　　求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°．

　　证明 设BD、CE交于P点，AD、CE交于Q点．对△AQC，依外角性质，有∠A＋∠C＝∠2 ①

　　对△BPE，依外角性质，有∠B＋∠E＝∠1 ②

　　∠A＋∠C＋∠B＋∠E＝∠1＋∠2

　　两边加∠D得

　　∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=∠1＋∠2＋∠D＝180°．

　　思考 在如图7所示的∠A，∠B，∠C， ∠D，∠E中至少有一个角不超过36°，请你说明理由．

　　一个凸n边形可以通过其一个顶点，连出n-3条对角线，将这个凸n边形分为n-2个三角形．每个三角形内角和为180°，可得“凸n边形的内角和等于(n-2)×180°”．这就是凸n边形内角和定理．

　　我们称凸n边形内角的一个邻补角为这个凸n边形的一个外角．可见，凸n边形共有n个外角，如图8所示，α1，α2，α3，α4，α5．就是这个凸五边形的五个外角．

　　由凸n边形内角和定理可得

　　推论 凸多边形外角和等于360°．这是因为每个外角与它成邻补角的内角之和为180°，所以凸n边形的n个外角和等于

　　n×180°-(n-2)×180°=2×180°＝360°．

　　例1 证明：凸多边形的内角中锐角的个数不能超过3个．

　　证明 假设凸多边形锐角个数超过3个，则至少为4个．这时，这四个锐角的邻补角都是钝角．因此这个凸多边形的外角中有四个钝角，这四个钝角之和大于360°，因此这个凸多边形外角和将大于360°，与上述推论矛盾．

　　所以凸多边形的内角中锐角的个数不超过3个．

　　思考 凸1992边形的内角中非锐角的个数至少有[ ]

　　(A)1988个； (B)1989个；

　　(C)1990个； (D)1991个．

　　〔提示：选(B)〕

　　例2 在一个凸n边形中，有n-1个内角和恰为8940°，求边数n的值．

　　解 设有一个内角α外，其于n-1个内角和恰为8940°．(其中0°＜α＜180°)

　　α＝(n-2)×180°-8940°．

　　∴ 0°＜(n-2)×180°-8940°＜180°

　　8940°＜( n-2)×180°＜9120°

　　即49.66…＜n-2＜50.66…

　　因n-2为整数

　　∴50≤n- 2≤50

　　∴ n-2＝50 n＝52

　　答：这个n边形是凸52边形．

　　例3 凸多边形的内角和再加上某个外角等于1350°，求这个多边形的边数n．

　　解 设某个外角为α，则0°＜α＜180°．

　　(n-2)×180°＋α＝1350°＝15×90°

　　因此，α是90°的倍数，但0°＜α＜180°

　　∴ α＝90°．

　　∴n＝9

　　例4 如图9，∠A1＝∠A2＝∠A3＝∠A4＝∠A5＝135°．∠A6＝∠A8＝90°．如果我们称大于180°的角为“优角”．试确定优角∠A7的度数．

　　解 连结A6A8得凸七边形A1A2A3A4A5A6A8，其内角和为(7-2)×l80°=900°．

　　∴∠A1A8A6＋∠A5A6A8＝900°-(∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5)

　　=900°-5×135°= 225°

　　∴∠A7A8A6＋∠A8A6A7

　　=225°-(∠A1A8A7＋∠A5A6A7)

　　＝225°-2×90°＝45°

　　∴∠A8A7A6＝180°-45°＝135°

　　∠A7=360°-∠A8A7A6＝360°-135°＝225°

　　例5 一个凸n边形的内角中，恰有4个钝角．试求边数n的最大值．

　　解 凸n边形内角和为(n-2)×180°．

　　这个凸n边形内角中恰有4个钝角，其余n-4个是非钝角，所以这个凸n边形内角和小于4×l80°＋(n-4)×90°．

　　由(n-2)×180°＜4×180°＋( n-4)×90°

　　解得 n＜8，即 n≤7．

　　事实上可以作出凸七边形ABCDEFG(图10)，使得∠A＝60°，∠B＝∠G

　　＝160°，∠C＝∠F＝175°，∠D＝∠E＝85°．

　　其中恰有4个钝角．

　　所以n的最大值是7．

　　例6 证明：任意凸九边形中，一定有三个顶点A，B，C，使得∠ABC ≤20°．

　　证明 凸九边形的内角和为(9-2)×180°＝1260°，

　　不妨设内角∠B≤140°．

　　自点B引出的6条对角线将内角∠B分为七个角，设为α1，α2，α3，α4，α5，α6，α7．

　　设αi是对角线BA，BC所成的角，即存在三个顶点A，B，C，有∠ABC≤20°成立．