数学有史五千年来最重大发现：正数x≠2(x/2)

———再三论证数学书有隐瞒不了的极重大根本错误

黄小宁

通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱  邮编510631

[摘要] 再三论证[0，2] 内有一半元素x都≠2(x/2)而无对应数x/2。根据“两数集不对等就更谈不上相等”仅用百多字就推翻了百多年无穷集论。

关键词  百字推翻百年无穷集论  有正数x ≠ 2(x/2)  搞错变量的变域  最重大根本错误

搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。

若（1）式0 ≤x ≤1表示x的变域是[0，1] = D，那么相应的（2）式0 ≤2x ≤2也表示2x＝y的变域Z是[0，2]（记为2D）吗？即定义域为D的y =2x的值域Z=2D吗？这完全是中学数学问题。

曲线积分论的理论根据是：充分短的曲线段几乎是直线段。曲线段点集M为何与相应的以切点为公共点的切线段点集N近似相等？因M的各点与N的各点一一对应几乎重合或重合在一起。M可看成是由N的各点都发生位移而成的。一数集各元全都变大后形成的新的数集不能包含原数集的全部元素。否则，何来“全都变大”？例如，无穷集（0，1）的各元x均由x扩大为x +0.1所形成的新的无穷集不能包含原无穷集的全部元素。

最关键的是若Z与2D是同一数集，则两者必对等即Z的各元必与2D的各元一一对应，这是Z=2D的必要条件。若数集A=B，则因A与B是同一数集，故其各元具独特的性质S：A内由小（大）到大（小）的每一 数x与B内由小（大）到大（小）的每一数y一一对应相等。注！由小到大取值且变域为(0,1)的变量若没有第一次的取值就绝对不能有以后各次的取值，人类不知其第一次取何数，恰恰表明人对变量变化的规律无力把握。

增函数y= f(x)＝2x 是说x的变域D的各元x均有对应数y=2x。这所有的y组成的集合Z就是 f(x) 的值域。2x中的x从取1起由大到小地取出一个个数x就派生出从大到小的一个个 2x，组成Z。这是增函数的重要特点T。

Z的各元y＝2x是由 [0，2]=2D的子集D 的各元x均由x变换为2x＝y而来的。Z的生成过程表明其各元不可与2D的各元一一对应而只可与2D的一半元素组成的D的各元一一对应。这说明连Z=2D的必要条件也不具备，故Z ≠ 2D。

注！Z内的一个个2x(无穷集也是由一个个元素组成的)由小到大地先后与D的各元x一一对应成双配对，一直到2x=2与x=1配成一对后，Z内就再也无多余的数与（1，2] 的各元x相配对了。形成鲜明对比的是由 2D的各元x均由x变换为2x后所形成的新的数集就与2D对等。

所以Z各元与D各元一一对应≠2D各元与D各元一一对应，数学引以为豪的百年无穷集论是重大的百年之误！

除了自欺欺人者，谁也不否认一目了然的事实C：一由非负数组成的非负数集内各正数x全都变大（小）为kx（正数k>或<1）后形成的新非负数集不能包含原集的全部元素，从而使新集绝≠原集。（0，2]与[0，2]的区别只是，后数集是由前集加多一个元素0而成的。所以一眼看出两集的各正数元x均变大为1.1x后形成的新集都不能包含原集的全部元素。一非负数集A各元x都由x变换为y = g（x）（相应的变量y是增函数）从而形成以y为元素的新的非负数集B，据特点T及性质S显然当且仅当每次变换都＝无变换即总有y = g（x）=x时，才有A＝B。

两变量x与增函数y（x）若（在整个变化过程中）总近似相等（例如x与1.0001x），则其变域必近似相等，若总相等，才能有其变域相等。

形如2x的正数都可2倍于别的正数。Z是由形如2x =2（y/2）= y ≤2的非负数的全体组成，而Z只可与D对等，所以形如x=2（x/2）≤2的正数的全体只占2D所有正数的一半。这说明2D的一半正数x都≠2(x/2)而无对应数x/2，其都不可2倍于任何别的正数！这正如1，2，3，4，5，6，7，…中形如2n（n=1，2，3，…）的数才可2倍于别的自然数，而其余的数都不可2倍于任何别的自然数一样。可见，D中有Z所不具备的数，详论见[5][6]。

然而几千年数学却一直断定Z=2D，断定 “任何正数x =2（x/2）”。建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。例如康脱推出“推翻”最起码科学常识：部分<全体的“革命发现”。

有人说应具体情况具体分析地将Z与2D的不对等，正确地理解为对等。即使此典型的思想混乱的“高深”理论获得公认，那也可据上述性质S证明Z≠2D。关键是2x是x的增函数；若Z与2D是同一数集，则Z内从0到2的各数y与2D内从0到2的各数x一一对应相等。

可见（2）式表示2x可一个不漏地遍取2D内一切形如2x的数而不是可遍取…。2x的变域可表为[0，2]（2x）。

据改写历史的事实C，x≥0的变域与相应的100…0x≥0的变域差别重大根本不相等！

（2）式中的2x＝y 能遍取定义域D内一切数吗？即Z能包含D的一切x吗？这须研究 （3）式

0 ≤2x = y ≤1（x被限制0 ≤x ≤1/2）

是否表示2x的值域Z′= D。Z′的各元y＝2x是由D的子集[0，1/2] 的各元x均由x变换为2x＝y而来的。故Z′各元不可与D各元一一对应，使Z′= D的必要条件也不具备，故Z′≠ D。2x只能遍取D内一切形如2x的数。

（3）式表示2x可遍取D内一切形如2x的数而不是可遍取…。2x的变域可表为[0，1]（2x）。

据改写历史的事实C，将（2）中的2x变换为kx（k>1）都不能表示kx的变域是[0，k] ，kx只能遍取[0，k]内一切形如kx的数。推论：从西方传进来的数学中，用而不知的深潜“地下”几千年的地下数远远多于已知数。对正数的认识的极惊人浅薄必使人无法认识沿X轴运动的质点是如何由x>0处动至原点处的。不能真正用数表达运动的相关学科还处于与中医等一样的不知其所以然的唯象论阶段。

参考文献

[1]黄小宁  数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11：994。

[2]黄小宁  y =10¹⁰x< 10¹⁰且>0的值域显然≠（0，10¹⁰）——教科书的重大错误应及时纠正，见：中国教师优秀论文集成（上）[C]，珠海：珠海出版社，2002.8：547。

[3][4]黄小宁  “任何正数x=2·x/2”是个重大错误；起码数学常识凸显数学课本及教学有重大错误——兼论教师有错不纠是严重失职；见：全国教育教学论文暨教案选萃[C]，北京：中国环境科学出版社，2005.4：161、168。

[5]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7

[6]黄小宁  一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。

[7]黄小宁  y=10¹⁰ x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）：42。

电子信箱:hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母） 电联:020-88506843(下午)初稿完成于2007-3-13。更新于2007-3-15。修订于2007-4-5。