在学习函数这一章中，许多同学被函数的若干性质弄的头昏脑涨，事实上，只要把握其中的规律，也就不困难了。现把规律总结如下：

规律（一）  定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.

证明：设点P（ 是 函数y=f(x)图象上的任意一点坐标，则关于直线x=a对称点坐标P 为（2a- ,用a- 替换f(x+a)=f(-x+a)中的x可得f(2a- =f( = ,故点P 满足函数y=f(x)的解析式，所以点P 在函数y=f(x)的图象上，故函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称

推论（一）   定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+b), 则函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称(提示：用b- 替换f(x+a)=f(-x+b)中的x).

总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程

规律（二）定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则2a是函数y=f(x)的一个周期。

证明：用x+a替换f(x+a)=f(x-a)中的x，得f(x+2a)=f(x)由周期函数的定义可得2a是它的一个周期。

推论（二）定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x-b),则a+b是函数y=f(x)的一个周期。（提示：用x+b替换f(x+a)=f(x-b)中的x即得）

总结：x的系数均为1，相减不除以2.

规律（三）  定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)，且是一个奇函数，则4a是它的一个周期。

证明：由f(x+a)=f(-x+a)可得f(-x)=f(x+2a),由奇函数的性质可得-f(x) =f(x+2a),用x+2a替换x得-f(x+2a)=f(x+4a),所以f(x)=f(x+4a),故 4a是它的一个周期。

规律（四）  定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)，且是一个偶函数，则2a是它的一个周期。

证明：由f(x+a)=f(-x+a)可得f(-x)=f(x+2a),又因为f(-x)=f(x),所以f(x+2a)=f(x)故2a是它的一个周期。

提问（1）：若定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)，且 4a是它的一个周期，y=f(x)是奇函数吗？

提问（2）：4a是函数y=f(x)的一个周期，y=f(x)是奇函数，函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)？

提问（3）：定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)，2a是它的一个周期，y=f(x)是一个偶函数吗？

提问（4）：2a是它的一个周期，y=f(x)是一个偶函数，y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)吗？

（1）和（2）两个提问均不正确，例如：y=sinx+2,f(x+ f(-x+ ,且2 是它的一个周期，但它不是一个奇函数。

第二个提问也不正确，我们可以举一个分段函数，使其为奇函数，6是它的一个周期，但x= 并不是它的对称轴。

（3）和（4）两个提问都正确，请读者自己证明。

通过对以上规律的研究，我们对函数性质的综合问题有了一些初步了解，下面通过几道题目进一步加深。

例1 函数f(x)在定义域R上不是常函数，且f(x)满足条件：对任意x ,都有f(x+4)=f(4-x),f(x+1)=f(x-1)则f(x)是(  )

A奇函数但非偶函数     B偶函数但非奇函数

C是奇函数又是偶函数   D非奇非偶函数

解答：由已知条件可得，该函数关于x=4对称,且周期为2，由提问（3）直接可得。事实上，f(-x)=f(x+8),f(x)=f(x+8),所以f(-x)= f(x)，故选B

例2 已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)-f(x),( x )且f(1)=1,f(2005)=          

解答：用x+1替换条件中的x得，f(x+3)=f(x+2)- f(x+1)  ①, f(x+2)=f(x+1)-f(x) ②,  ① +②  可得f(x+3)= -f(x)，用x+3替换x,得f(x+6)= -f(x+3),所以 f(x+6)= f(x)，故6是它的一个周期，则f(2005)=f(334 =f(1)=1

 通过对以上例题的解答,我们意识到,深挖函数性质,探讨规律,方能运用自如,我们不难发现,无论是每一个规律,还是每一道题,替换思想起着重要作用.