为了适应新课程的改革,一线教师正在针对新课程标准的要求,认真钻研教材,实施教学.虽然新教材的设置为教师提供了较大的发挥空间,但在实施的过程中难免遇到一些困惑,以下提出几点拙见,欢迎批评指正!
举几个例子
例1.苏教版选修2-1第86页例2,在空间直角坐标系内,设平面α经过点P(x0,y0,z0),平面α的法向量为e =(A,B,C),M(x,y,z)是平面α内任意一点,求x,y,z满足的关系式.
解:由题意可得
因为e是平面α的法向量,所以e⊥ ,
从而
即 (A,B,C)(x-x0,y-y0,z-z0)=0
得到 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
所以满足题意的关系式为
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
仔细阅读此例题,就会发现M(x,y,z)是平面α内任意一点,那么M就有可能与P重合,那么当M与P 重合时,还有e ⊥ 吗?其实当M与P重合时, 为零向量,在共线向量的定义中有明确规定0任一向量共线,所以当M与P重合时,不能写e⊥ ,那么为了解题的严密性,是否可以这样解决呢?
解:由题意,当点M不同与点P时,
可得
因为e是平面α的法向量,所以e⊥ ,
从而
即 (A,B,C)(x-x0,y-y0,z-z0)=0
得到 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
所以满足题意的关系式为
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. （1）
当M与P重合时,M( x0,y0,z0)也满足(1)式.
所以满足题意的关系式为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
例2.苏教版选修2-1第93页例2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是BC的中点,点E1在D1C1上,且 试求直线E1F与平面D1AC所成的角的大小.
解:不妨设正方体的棱长为1,以 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则各点的坐标为
从而可得θ≈83.850
因为 是直线E1F的方向向量, 是平面D1AC的法向量,所以E1F与平面D1AC所成的角是θ的余角,大小约为6.150.
可以看出角θ不是一个特殊角,这里需要使用反三角函数,而反三角函数在新教材中只是在必修4第52页的链接中简单提了一下,并且在考试时,一般是不允许学生使用计算器的.那么此例题包括它前面的例1,后面的例3、例4及其对应的练习是否可以改成求角的余弦值呢?
例3.苏教版选修2-1第58页第3题,已知两个定点B(-1,1),C(1,-1)动点A满足条件
tan∠ACB=2tan∠ABC,求点A的轨迹方程.
即 x+y=0 或 3x-3y-2=0
当x=±1时，也满足上式.
同理，当A点在BC的左下方时结论相同.
所以点A的轨迹方程为x+y=0(x≠±1)或3x-3y-2=0.
此解用到了到角公式,而到角公式在新课标中始终没有提到,已从旧教材中删掉了.此题也可以使用其它方法解,但解决过程中会发现很复杂,完全没什么意义,那么此题目是否可以直接删掉呢?但是既然此题目出现在课本上,就最好能把它处理好,可以简单介绍一下到角公式来解决.
1.中华人民共和国教育部制订 <<数学课程标准>> 人民教育出版社 2004年5月
2.蔡立 <<数学(选修2-1)>> 江苏教育出版社 2006年6月
3.蔡立 <<高中数学教学参考书.数学(选修2-1)>> 江苏教育出版 2006年7月 | 参考资料 |
