【单元知识总结】

本章的重点内容是幂的有关运算性质、单项式与多项式的乘除法法则及各种运算．

全章的主要内容及有关知识的相互联系如下图所示：

1．同底数幂相乘的法则　同底数幂相乘，底数____________，指数____________．用字母表示为____________．

2．幂的乘方法则　幂的乘方，底数____________，指数____________．用字母表示为____________．

3．积的乘方法则　积的乘方，等于把积的每一个因式分别____________，再把所得的幂____________．用字母表示为____________．

4．单项式的乘法法则　单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别____________，对于只在一个单项式里含有的字母，则____________．

5．单项式与多项式相乘的法则　单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的____________，再把所得的积____________．

6．多项式的乘法法则　多项式与多项式相乘，先用一个多项式的____________另一个多项式的____________，再把所得的积____________．

7．对于符合（x＋a）（x＋b）形式的多项式的乘法，可用（x＋a）（x＋b）＝____________直接写出结果．

8．平方差公式　两个数的____________与这两个数的____________的____________等于这两个数的平方差．公式为____________．

9．完全平方公式　两数和（或差）的____________，等于它们的____________，加上（或者减去）它们的____________，公式为____________．

10．同底数幂的除法法则　同底数幂相除，底数____________，指数____________．用字母表示为____________．

11．任何____________的数的0次幂都等于____________．用字母表示为____________．

12．任何____________的数的－p次幂（p是正整数），等于____________．用字母表示为____________．

13．单项式除以单项式的法则　单项式相除，把____________、____________分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则_____________________________．

14．多项式除以单项式的法则　多项式除以单项式，先把这个多项式的____________，再把所得的商相加．

例1．已知2^2n＋1＋4ⁿ＝48，求n的值．

解：∵2^2n＋1＋4ⁿ＝2×2²ⁿ＋（2²）ⁿ＝2×2²ⁿ＋2²ⁿ＝3×2²ⁿ＝48，

∴2²ⁿ＝16＝2⁴，∴2n＝4，∴n＝2．

例2．已知10^a＝6，10^b＝3，求10^2a－3b的值．

解：∵10^a＝6，10^b＝3，

∴10^2a－3b＝10^2a÷10^3b＝（10^a）²÷（10^b）³＝6²÷3³＝36÷27＝ ．

例3．已知x－y＝2，xy＝8，求x⁴＋y⁴的值．

解：∵x－y＝2，xy＝8，

∴x²＋y²＝（x－y）²＋2xy＝2²＋2×8＝20，

∴x⁴＋y⁴＝（x²＋y²）²－2x²y²＝（x²＋y²）²－2（xy）²

＝20²－2×8²＝400－128＝272．

例4．求证：四个连续自然数的积与1的和，必是某一个整数的平方．

证明：设这四个连续自然数分别为n、n＋1、n＋2、n＋3．那么

n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1

＝［n（n＋3）］［（n＋1）（n＋2）］＋1

＝（n²＋3n）［（n²＋3n）＋2］＋1

＝（n²＋3n）²＋2（n²＋3n）＋1

＝（n²＋3n＋1）²．

∵n是自然数，

∴n²＋3n＋1是整数．故四个连续自然数的积与1的和，必是某一个整数的平方．

例5．已知有理数m、n满足m²－4mn＋5n²－6m＋14n＋10＝0，求（mn）²⁰⁰⁴的值．

解：∵m²－4mn＋5n²－6m＋14n＋10

＝（m²－4mn＋4n²）＋（n²＋2n＋1）－6（m－2n）＋9

＝（m－2n）²＋（n＋1）²－6（m－2n）＋9

＝（m－2n）²－2·（m－2）·3＋3²＋（n＋1）²

＝（m－2n－3）²＋（n＋1）²

＝0，

∴

∴（mn）²⁰⁰⁴＝［1×（－1）］²⁰⁰⁴＝（－1）²⁰⁰⁴＝1．

例6．计算：（－10）²＋（－10）⁰＋10^－2×（－10²）．

解：（－10）²＋（－10）⁰＋10^－2×（－10²）

＝100＋1－10^－2×10²

＝100＋1－10^－2＋2＝100＋1－1

＝100．

例7．已知（x²＋ax＋b）（x²－5x＋4）的展开式中，不含x³和x项，求有理数a、b的值．

解：（x²＋ax＋b）（x²－5x＋4）

＝x⁴－5x³＋4x²＋ax³－5ax²＋4ax＋bx²－5bx＋4b

＝x⁴＋（a－5）x³＋（b－5a＋4）x²＋（4a－5b）x＋4b，

∵展开式中不含x³和x项，

∴ 解得

∴a＝5，b＝4．

例8．已知a为有理数，并且x＝2004a＋2003，y＝2004a＋2004，z＝2004a＋2005，求x²＋y²＋z²－xy－yz－zx的值．

解：∵（x－y）²＝x²－2xy＋y²，（y－z）²＝y²－2yz＋z²，（z－x）²＝z²－2zx＋x²，

∴（x－y）²＋（y－z）²＋（z－x）²

＝（x²－2xy＋y²）＋（y²－2yz＋z²）＋（z²－2zx＋x²）

＝2（x²＋y²＋z²－xy－yz－zx），

又∵x＝2004a＋2003，y＝2004a＋2004，z＝2004a＋2005，

∴x－y＝－1，y－z＝－1，z－x＝2．

∴x²＋y²＋z²－xy－yz－zx

＝ ［（x－y）²＋（y－z）²＋（z－x）²］

＝ ［（－1）²＋（－1）²＋2²］

＝3．

【课外知识补充】

董事长的密码

某公司董事长为了了解下属对他工作的评价，又怕他们有所顾虑，不敢直言相告．于是他想了一个办法：要求每人任取一个多位正整数，然后将这个数减去这个多位数的各位数字之和得到差数，如果对他的工作满意，就在其差数上加2；如果觉得工作一般，就在其差数上加1；如果觉得不满意，就在其差数上加0．每人只要写出最后所得的数字，董事长就可以知道员工对自己的评价．

同学们，你能知道董事长是如何译出这些密码的吗？