0≤2x≤2不表示2x的变域是[0，2]

———再三论证数学书有隐瞒不了的极重大根本错误

黄小宁

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搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。

若（1）式0 ≤x ≤1表示x的变域是[0，1] = D，那么相应的（2）式0 ≤2x ≤2也表示2x＝y的变域Z是[0，2]（记为2D）吗？即定义域为D的y =2x的值域Z=2D吗？这完全是中学数学问题。

曲线积分论的理论根据是：充分短的曲线段几乎是直线段。曲线段点集M为何与相应的以切点为公共点的切线段点集N近似相等？因M的各点与N的各点一一对应几乎重合或重合在一起。

若数集A＝B，则两者必对等即A的各元必与B的各元一一对应，这是A＝B的必要条件，充分条件是A内由小（大）到大（小）的每一 数x与B内由小（大）到大（小）的每一数y一一对应相等。

变换关系式：增函数y= f(x)＝2x 是说x的变域D的各元x均由x变换为它的对应数2x＝y。这所有的y组成的集合Z就是 f(x) 的值域。2x中的x由大到小取数，从取1起到取0止，每取一数x都必只有一对应的变换数2x。

除了自欺欺人者，谁也不否认一目了然的事实C：若正数集A的各元y是由另一数集B的各元x均由x变换为y（x）（相应的变量y是增函数）而来的，则当有序的每次变换都＝无变换即总有y=x时，才有A＝B，否则A≠ B。

Z的各元y＝2x是由 [0，2]=2D的子集D 的各元x均由x变换为2x＝y而来的。Z的生成过程表明其各元不可与2D的各元一一对应而只可与D的各元一一对应。这说明使Z=2D的必要条件也不能满足，故Z≠ 2D。

所以Z各元与D各元一一对应≠ 2D各元与D各元一一对应，

形如2x的正数都可2倍于别的正数。Z是由形如2x=2（y/2）=y ≤2的非负数的全体组成，而Z只可与D对等，所以形如x=2（x/2）≤2的正数的全体只占2D所有正数的一半。这说明2D的一半正数x都 ≠ 2(x/2)而无对应数x/2，其都不可2倍于任何别的正数！这正如1，2，3，4，5，6，7，…中形如2n（n=1，2，3，…）的数才可2倍于别的自然数，而其余的数都不可2倍于任何别的自然数一样。可见，D中有Z所不具备的数，详论见[5][6]。

然而几千年数学却一直断定Z=2D，断定 “任何正数x =2（x/2）”。建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。例如康脱推出“推翻”最起码科学常识：部分<全体的“革命发现”。

有人说应具体情况具体分析地将Z与2D的不对等，正确地理解为对等。即使此典型的思想混乱的“高深”理论获得公认，也可据上述A＝B的“一一对应相等”充分条件证明Z≠ 2D。关键是2x是x的增函数。

可见（2）式表示2x可一个不漏地遍取2D内一切形如2x的数而不是可遍取…。2x的变域可表为[0，2]（2x）。

据改写历史的事实C，x≥0的变域与相应的100…0x≥0的变域差别重大根本不相等！

（2）式中的2x＝y 能遍取定义域D内一切正数吗？这须研究 （3）式

0 ≤2x = y ≤1（x被限制0 ≤x ≤1/2）

是否表示2x的值域Z′= D。Z′的各元y＝2x是由D的子集[0，1/2] 的各元x均由x变换为2x＝y而来的。Z′的生成过程表明其各元不可与D的各元一一对应，这说明使Z′= D的必要条件也不能满足，故Z′≠ D。2x只能遍取D内一切形如2x的数。

（3）式表示2x可遍取D内一切形如2x的数而不是可遍取…。2x的变域可表为[0，1]（2x）。

据改写历史的事实C，将（2）中的2x变换为kx（k>1）都不能表示kx的变域是[0，k] ，kx只能遍取[0，k]内一切形如kx的正数。推论：数学中，用而不知的深藏“地下”几千年的地下数远远多于已知数。对正数的认识的极惊人浅薄必使人无法认识沿X轴运动的质点是如何由x>0处动至原点处的。不能真正用数表达运动的相关学科与中医等一样还处于不知其所以然的唯象论阶段。

参考文献

[1]黄小宁  数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11：994。

[2]黄小宁  y =10¹⁰x< 10¹⁰且>0的值域显然≠（0，10¹⁰）——教科书的重大错误应及时纠正，见：中国教师优秀论文集成（上）[C]，珠海：珠海出版社，2002.8：547。

[3][4]黄小宁  “任何正数x=2·x/2”是个重大错误；起码数学常识凸显数学课本及教学有重大错误——兼论教师有错不纠是严重失职；见：全国教育教学论文暨教案选萃[C]，北京：中国环境科学出版社，2005.4：161、168。

[5]黄小宁  极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷，中国农业科技出版社，2003.5:7

[6]黄小宁  一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。

[7]黄小宁  y=10¹⁰ x的值域与定义域有极显著区别——近似计算等常识推翻“标准实数完备”定理[J]，数学教学研究，2002（2）：42。

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