发散思维话解应用题

　课本是学习的根本，是许多人经验智慧的结晶，但由于诸多因素的影响，尤其是课本上例题的单一思考方式，束缚了学生的思维.为改变这一对学生不良的思维定势，本文现以湖北省孝感市1996～1997年度“英才杯”初中数学竞赛初赛一试题为例，从多种途径出发，通过多角度审视和全方位分析，谈谈发散思维在训练初一学生解题中的应用.

　　题目：某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？

　　解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得

　　分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法.

　　解1(凑整法)

　　∴②＋③，得7(x+y+z)=7.35，

　　∴x+y+z=1.05

　　答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元(下面解法后的答均省略)

　　解2(主元法)

　　视x、y为主元，视z为常数，解①、②得x=0.5-0.5z，y＝0.55－0.5z.

　　∴x＋y+z=0.55＋0.5-z＋z=1.05.

　　解3(主元法)

　　视y、z为主元，视x为常数，解①、②得y=0.05+x，z=1-2x.

　　∴x＋y+z=1.05＋x-2x+x=1.05

　　解4(主元法)

　　视z、x为主元，视y为常数，解①、②得x=y-0.05，z=1.1-2y

　　∴x+y+z=y-0.05+y+1.1-2y= 1.05

　　解5(假设法)

　　令x=0，则原方程组可化为

　　∴x＋y+z=1.05

　　解6(假设法)

　　令y=0，则原方程组可化为

　　∴x+y+z=1.05

　　解7(假设法)

　　令z=0，则原方程组可化为

　　∴x+y＋z=1.05

　　解8(化“x＋y＋z”法)

　　原方程组可变形为

　　解之得x+y+z=1.05

　　解9(参数法)

　　设x＋y+z=k，则

　　∴①-②×3，得 x-y=-0.05 ④

　　③×3-②，得x-y=3k-3.2⑤

　　∴由④、⑤得3k-3.2=-0.05，

　　∴k=1.05

　　即 x+y+z=1.05

　　解10(待定系数法)

　　设x+y+z=a(13x+5y+9z)+b(2x+4y+3z)=(13a＋2b)x＋(5a＋4b)y+(9a＋3b)z ①

　　则比较两边对应项系数，得

　　附练习题

　　1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨.求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？(九年义务教材初中《代数》第一册(下)P40—2，24.5吨)

　　2.有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元.问若购甲、乙、丙各1件共需多少元？(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题，1.05元)

　　3.有甲、乙、丙三种圆珠笔，若购甲8件、乙11件、丙2件共需50元；若购甲7件、乙9件、丙3件共需30元.问若购甲、乙、丙各1件共需多少元？(2元)